dsaraidarian

Transformaciones Lineales: Sea una T.L.: V®W , donde V es el espacio de salida, W el espacio de llegada, v y w vectores de V.

Es una funcion, que para ser T.L. 1) T ( v + w ) = T(v) + T(w)

debe cumplir con 2 condiciones. 2) T ( ". v ) = " . T(v)

Para ser transformación lineal, el vector imagen (Y) debe ser una combinación lineal del vector preimagen ( X ).

Si los elementos de la preimagen son distintos, le correpondes distintas imágenes.

Si N(t)= vector nulo, entonces la T.L. es inyectiva.

Si algun elemento no tiene preimagen, no es sobreyectiva. No importa que una misma imagen tenga varias preimagenes.

Propiedad de la funcion Biyectiva: Tiene Inversa.

Una T.L. es biyectiva si tiene inversa. ( la matriz asociada debe ser cuadrada)

O sea: Espacio de salida = Espacio de llegada ¿?

Toda matriz de cambio de base debe ser un isomorfismo. ( necesita inversa para volver )

El núcleo de la T.L. es un subespacio del espacio de salida. Puede ser que todo el espacio de salida sea el nulo.

nucleo de la T.L. Imagen de la T.L. del espacio de salida

T .L. : V ® W dim N ( T ) + dim R ( T ) = dim ( V )

El vector nulo no puede formar parte de una base, porque es linealmente dependiente.

Teorema de la imagen de una T.L. : Es un subespacio del espacio de llegada.

· Conjuntos de vectores L.D. del espacio de salida, tienen como imagen un conjunto de vectores tambien L.D. en el espacio de llegada.

L.D. ® L.D

· Conjuntos de vectores L.I. del espacio de Llegada, tienen como preimagen un conjunto de vectores tambien L.I. en el espacio de llegada.

L.I. ¬ L.I.

Si ademas la T.L. es inyectiva ( N ( T ) = { 0P } ) entonces:

· Conjuntos de vectores L.I. del espacio de salida, tienen como imagen un conjunto de vectores tambien L.I. en el espacio de llegada.

L.I. ® L.I.

· Si la matriz de la T.L es ortogonal, se dice T.L. ortogonal.

· Si la matriz de la T.L es la identidad, se dice T.L. identidad.

En la matriz asociada a una T.L. las columnas representan los transformados de los vectores que componen la base del espacio de salida, expresados en la base del espacio de llegada.

Base: Conjunto ordenado de vectores L.I., y Sistema generador.

Para expresar un vector que esta en canonica , en la nueva base, hago la C.L. de los vectores de la nueva base.

Recordar:

T . X = Y P . X´ = X P: cambio de base en el espacio de salida ( formado por los vectores de la nueva base )

T. P . X´ = Y Q.Y´= Y Q: cambio de base en el espacio de llegada ( formado por los vectores de la nueva base )

T. P . X´ = Q.Y´

Q^-1 . T. P . X´ = Y´

Equivalencia de Matrices: 2 matrices A y B son equivalentes cuando existen otras 2 matrices, S y R cuadradas, no singulares (│S│≠0 y│R│≠0 )

Tales que:

1) S . A . R = B 1° Propiedad: es Reflexiva. de A en A

m.m m.n n.n m.n

2) S^-1 . S . A . R . R^-1 = S^-1 . B . R^-1 2° Propiedad: es Simetrica. de A en B y de B en A.

A = S^-1 . B . R^-1

3) Si SAR = B (A es equivalente con B) ;

Si MBN = C (B es equivalente con C) ; Þ M . B . N = C

M . (S.A.R) . N = C

(M.S). A . (R.N) = C El producto de dos matrices singulares

T . A . W = C da una matriz singular.

3° Propiedad: Es Transitiva: A con B, B con C y A con C.

La equivalencia de matrices, es una relacion de equivalencia, porque es Reflexiva, Simetrica y Transitiva.

2 matrices son equivalentes, si estan asociadas a la misma transformación lineal, que ha sida afectada por cambios de base en el espacio de salida y/o en el espacio de llegada.

S . A . R = B Digo: S^-1 : cambio de base en el espacio de llegada ( el que era antes Q )

cambio cambio R : cambio de base en el espacio de salida ( el que era antes P )

de base en de base en

E.. Salida E. Llegada. Deciamos Y / O porque : Q^-1 . T . I = T₃ T₁ es equivalente a

Q^-1 . T . P = T₂ I . T . P = T₁ T₂ es equivalente a

Q^-1 . T . P = T₂ T₃

14/12/08 · 0 comentarios · Autor: dsaraidarian ·