APUNTES TEORICOS DE : MATEMATICA PARA ECONOMISTAS

Curso: Alicia Bernardello - Alumno: Gustavo A. Mustillo - 2.002 PAG. 1

Transformaciones Lineales: Sea una T.L.: V®W , donde V es el espacio de salida, W el espacio de llegada, v y w vectores de V.

Es una funcion, que para ser T.L. 1) T ( v + w ) = T(v) + T(w)

debe cumplir con 2 condiciones. 2) T ( ". v ) = " . T(v)

Para ser transformación lineal, el vector imagen (Y) debe ser una combinación lineal del vector preimagen ( X ).

MONOMORFISMO: T.L. Inyectiva: Si x1 ≠ x2 Þ F(x1) ≠ F(x2) N ( T ) = { 0P }

Si los elementos de la preimagen son distintos, le correpondes distintas imágenes.

Si N(t)= vector nulo, entonces la T.L. es inyectiva.

HEPIMORFISMO: T.L Sobreyectiva: Imagen = Codominio. dim R( T ) = dim ( W )

Si algun elemento no tiene preimagen, no es sobreyectiva. No importa que una misma imagen tenga varias preimagenes.

ISOMORFISMO: T.L. Biyectiva: o sea, que debe ser T.L. Inyectiva y T.L. sobreyectiva.

Propiedad de la funcion Biyectiva: Tiene Inversa.

Una T.L. es biyectiva si tiene inversa. ( la matriz asociada debe ser cuadrada)

O sea: Espacio de salida = Espacio de llegada ¿?

Toda matriz de cambio de base debe ser un isomorfismo. ( necesita inversa para volver )

ENDOMORFISMO: T.L. que va de un espacio de salida, al mismo espacio de llegada. T.L.: ÂK ® ÂK

AUTOMORFISMO: Es un endomorfismo (del espacio en si mismo ) , que es Isomorfismo ( biyectiva )

NUCLEO: Conjunto formado por los vectores del espacio de salida ( X ) , que tienen como imagen el vector nulo en el espacio de llegada ( Y )

El núcleo de la T.L. es un subespacio del espacio de salida. Puede ser que todo el espacio de salida sea el nulo.

Existe la T.L. Nula : T [[ 0 0 ] [0 0] [0 0 ]] Todos los vectores del espacio de salida, son el nucleo de la transformacion. (cada espacio es un subespacio en si mismo. )

Teorema de la dimension: dimension del + dimension de la = dimension

nucleo de la T.L. Imagen de la T.L. del espacio de salida

T .L. : V ® W dim N ( T ) + dim R ( T ) = dim ( V )

El vector nulo no puede formar parte de una base, porque es linealmente dependiente.

TEOREMAS:

Teorema de la imagen de una T.L. : Es un subespacio del espacio de llegada.

· Conjuntos de vectores L.D. del espacio de salida, tienen como imagen un conjunto de vectores tambien L.D. en el espacio de llegada.

L.D. ® L.D

· Conjuntos de vectores L.I. del espacio de Llegada, tienen como preimagen un conjunto de vectores tambien L.I. en el espacio de llegada.

L.I. ¬ L.I.

Si ademas la T.L. es inyectiva ( N ( T ) = { 0P } ) entonces:

· Conjuntos de vectores L.I. del espacio de salida, tienen como imagen un conjunto de vectores tambien L.I. en el espacio de llegada.

L.I. ® L.I.

· Si la matriz de la T.L es ortogonal, se dice T.L. ortogonal.

· Si la matriz de la T.L es la identidad, se dice T.L. identidad.

En la matriz asociada a una T.L. las columnas representan los transformados de los vectores que componen la base del espacio de salida, expresados en la base del espacio de llegada.

Base: Conjunto ordenado de vectores L.I., y Sistema generador.

Para expresar un vector que esta en canonica , en la nueva base, hago la C.L. de los vectores de la nueva base.

Recordar:

T . X = Y P . X´ = X P: cambio de base en el espacio de salida ( formado por los vectores de la nueva base )

T. P . X´ = Y Q.Y´= Y Q: cambio de base en el espacio de llegada ( formado por los vectores de la nueva base )

T. P . X´ = Q.Y´

Q-1 . T. P . X´ = Y´

APUNTES TEORICOS DE : MATEMATICA PARA ECONOMISTAS

Curso: Alicia Bernardello - Alumno: Gustavo A. Mustillo - 2.002 PAG. 2

Equivalencia de Matrices: 2 matrices A y B son equivalentes cuando existen otras 2 matrices, S y R cuadradas, no singulares (│S│≠0 y│R│≠0 )

Tales que:

1) S . A . R = B 1° Propiedad: es Reflexiva. de A en A

m.m m.n n.n m.n

2) S-1 . S . A . R . R-1 = S-1 . B . R-1 2° Propiedad: es Simetrica. de A en B y de B en A.

A = S-1 . B . R-1

3) Si SAR = B (A es equivalente con B) ;

Si MBN = C (B es equivalente con C) ; Þ M . B . N = C

M . (S.A.R) . N = C

(M.S). A . (R.N) = C El producto de dos matrices singulares

T . A . W = C da una matriz singular.

3° Propiedad: Es Transitiva: A con B, B con C y A con C.

La equivalencia de matrices, es una relacion de equivalencia, porque es Reflexiva, Simetrica y Transitiva.

Equivalencia de matrices y cambios de Base:

2 matrices son equivalentes, si estan asociadas a la misma transformación lineal, que ha sida afectada por cambios de base en el espacio de salida y/o en el espacio de llegada.

S . A . R = B Digo: S-1 : cambio de base en el espacio de llegada ( el que era antes Q )

cambio cambio R : cambio de base en el espacio de salida ( el que era antes P )

de base en de base en

E.. Salida E. Llegada. Deciamos Y / O porque : Q-1 . T . I = T3 T1 es equivalente a

Q-1 . T . P = T2 I . T . P = T1 T2 es equivalente a

Q-1 . T . P = T2 T3

14/12/08 · 0 comentarios · Autor: dsaraidarian ·